射頻技術(shù)的故事，要從麥克斯韋和他的方程組講起。對(duì)很多行業(yè)的人來(lái)說(shuō)，麥克斯韋這個(gè)名字或許有些陌生—— 他的名氣似乎遠(yuǎn)不及電學(xué)領(lǐng)域的安培、法拉第，也比不上發(fā)明大王愛(ài)迪生、交流電先驅(qū)特斯拉。但對(duì)每一個(gè)射頻人而言，他卻是不折不扣的 “祖師爺”：是他第一個(gè)預(yù)言了電磁波的存在，第一個(gè)將電與磁的規(guī)律統(tǒng)一成完整體系，第一個(gè)揭示了電磁波與光的統(tǒng)一性，更是我們?nèi)缃襁@個(gè)無(wú)線(xiàn)通信時(shí)代的 “奠基者”。所以，當(dāng)我們刷著抖音、玩著王者，享受無(wú)線(xiàn)連接帶來(lái)的便利時(shí)，別忘了背后站著這位用方程點(diǎn)亮無(wú)線(xiàn)世界的先驅(qū) —— 麥克斯韋。

圖1 麥克斯韋和麥克斯韋方程的微積分形式

麥克斯韋方程組，就是圖 1 里的那兩組公式：左邊是微分形式，右邊是積分形式。對(duì)不少 “高等數(shù)學(xué)恐懼癥” 患者來(lái)說(shuō)，這組方程簡(jiǎn)直是 “勸退現(xiàn)場(chǎng)”—— 微積分符號(hào)看得人頭暈，那個(gè)倒三角▽像個(gè)神秘符號(hào)，中間帶圈的符號(hào)更是讓人摸不著頭腦。我當(dāng)初也一樣：公式里的 E、B、ρ 這些字母代表什么意思還能看懂，但前面的符號(hào)是啥？它們又在表達(dá)什么規(guī)律？

直到朋友圈里兩篇爆文的出現(xiàn)，才讓我對(duì)這組方程有了新的認(rèn)識(shí)——《最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（微分篇）》《最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（積分篇）》。那陣子，這兩篇文章幾乎刷爆了所有射頻人的朋友圈：原來(lái)祖師爺留下的 “硬核知識(shí)”，也能被解讀得這么通透易懂？于是我也跟著 “啃起了硬骨頭”，拼命查資料、翻論文，甚至把麥克斯韋當(dāng)年的三篇經(jīng)典著作都翻了出來(lái) ——《論物理力線(xiàn)》（1861）、《電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論》（1865）、《電磁學(xué)通論》第二卷（1873 年，牛津大學(xué)克拉倫登出版社）。坦白說(shuō)，這些一百多年前的文字讀起來(lái)并不容易：古英語(yǔ)的表述方式、略顯晦澀的推導(dǎo)邏輯，越讀越覺(jué)得自己像在 “啃天書(shū)”

但或許，我們可以換個(gè)角度：先拋開(kāi)那些復(fù)雜的運(yùn)算符號(hào)，從物理意義入手理解麥克斯韋方程組，會(huì)不會(huì)更容易些？

先看第一個(gè)方程。不管是微分形式還是積分形式，左邊都是對(duì)電場(chǎng) E 的操作，右邊則是和電荷相關(guān)的量 —— 微分形式里是電荷密度 ρ，積分形式里是總電荷 Q。說(shuō)白了，它描述的就是電場(chǎng)和電荷的關(guān)系。這一點(diǎn)，很多中學(xué)生都能脫口而出：電荷會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)。理解了這層，再看微分和積分形式就簡(jiǎn)單了：微分，就像把一個(gè)大物體切成無(wú)數(shù)小塊，看每一小塊的電場(chǎng)與電荷的關(guān)系；積分，則是把這些小塊 “拼” 回去，看整個(gè)封閉曲面內(nèi)的總電場(chǎng)與總電荷的關(guān)系。所以麥克斯韋方程組第一個(gè)方程的微分形式，說(shuō)的是 “當(dāng)我們觀察一個(gè)無(wú)限小的封閉曲面時(shí)，電場(chǎng)的特性由這一小塊空間里的電荷密度 ρ 決定”；積分形式則是 “某個(gè)封閉曲面內(nèi)的電場(chǎng)總和，等于這個(gè)曲面里包含的總電荷量”。更進(jìn)一步說(shuō)，電場(chǎng)是 “有源的”，而產(chǎn)生它的 “源”，就是電荷。這其實(shí)就是我們中學(xué)學(xué)過(guò)的 “電場(chǎng)高斯定律”，是庫(kù)倫定律的延伸。配合圖示理解，這種 “電荷生電場(chǎng)” 的關(guān)系會(huì)更清晰。

相應(yīng)地，第二個(gè)方程就好理解了。左邊的量從電場(chǎng) E 變成了磁感應(yīng)強(qiáng)度 B，右邊則變成了 0。這又是什么意思呢？比如微分形式，說(shuō)的是 “一個(gè)無(wú)限小的封閉曲面內(nèi)，磁通量等于 0”；積分形式則是 “任意封閉曲面內(nèi)的總磁通量之和為 0”。

之所以會(huì)這樣，是因?yàn)榇艌?chǎng)的磁力線(xiàn)永遠(yuǎn)是閉合的：一個(gè)磁體，無(wú)論你怎么切割，它總有 N 極和 S 極，磁力線(xiàn)從 N 極出發(fā)，必然會(huì)回到 S 極。這意味著，任何封閉曲面內(nèi) “穿進(jìn)” 多少磁力線(xiàn)，就會(huì) “穿出” 多少，總和永遠(yuǎn)是 0。換句話(huà)說(shuō)，自然界中不存在 “單磁體”（比如只有 N 極或只有 S 極的磁體）。雖然科學(xué)家們至今還在努力尋找單磁體，但至少目前，這個(gè)方程依然成立。想想看，這條 “高斯磁定律” 是高斯在 200 多年前提出的。

后面兩個(gè)方程，就更能體現(xiàn)麥克斯韋方程組的“精妙” 了。它們的左邊是描述空間特性的量，右邊是描述時(shí)間變化的量 —— 當(dāng) “空間” 和 “時(shí)間” 在這里相遇，就產(chǎn)生了奇妙的 “變化”。更有意思的是，方程的一側(cè)是電場(chǎng) E 或電位移 D，另一側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 或磁場(chǎng)強(qiáng)度 H（注意，E、D、B、H 都是矢量，頭頂上都該帶箭頭）。也就是說(shuō)，通過(guò) “變化”，電場(chǎng)和磁場(chǎng)被緊緊聯(lián)系在了一起。

先看第三個(gè)方程：隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)，能產(chǎn)生電場(chǎng)。這是法拉第經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論，也是電動(dòng)機(jī)的原理—— 正因?yàn)?“變化的磁場(chǎng)生電場(chǎng)”，人類(lèi)才從蒸汽時(shí)代邁入了電力時(shí)代。不過(guò)要注意，這里的感應(yīng)電場(chǎng)和電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)不一樣：電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是 “發(fā)散的”，而感應(yīng)電場(chǎng)是 “漩渦狀” 的，就像水流中的漩渦，所以也叫 “漩渦場(chǎng)”。

第四個(gè)方程，則是麥克斯韋方程組的“點(diǎn)睛之筆”。它告訴我們：不僅電流 J 能產(chǎn)生磁場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也能產(chǎn)生磁場(chǎng)。正是這一點(diǎn)，讓電和磁實(shí)現(xiàn)了 “歷史性握手”：變化的電場(chǎng)生磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)又生電場(chǎng)，如此交替往復(fù)，就形成了向前傳播的電磁波。我們今天的無(wú)線(xiàn)電通信、手機(jī)信號(hào)、衛(wèi)星傳輸，都是靠這種 “交替并進(jìn)” 的電磁波傳遞信息的?？梢哉f(shuō)，正是這兩個(gè)方程，讓 “電” 和 “磁” 不再是孤立的現(xiàn)象，而是統(tǒng)一成了 “電磁場(chǎng)”，為無(wú)線(xiàn)時(shí)代埋下了伏筆。

講到這里，或許你對(duì)麥克斯韋方程組已經(jīng)有了些感覺(jué)。這時(shí)候再回頭看那些奇怪的數(shù)學(xué)符號(hào)，可能就沒(méi)那么“可怕” 了。那個(gè)倒三角▽?zhuān)?“哈密頓算子”，讀作 “那勃樂(lè)”，它代表著對(duì) x、y、z 三維坐標(biāo)系的微分運(yùn)算，而且在運(yùn)算中既保留了微分的特性，又帶著矢量的 “方向感”，就像一把 “矢量手術(shù)刀”，能精準(zhǔn) “切割” 空間中的場(chǎng)分布。

運(yùn)算方式：

向量點(diǎn)乘：（內(nèi)積）

點(diǎn)乘（Dot Product）的結(jié)果是點(diǎn)積，又稱(chēng)數(shù)量積或標(biāo)量積（Scalar Product）。從代數(shù)角度看，點(diǎn)積是對(duì)兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)位置上的值相乘再相加的操作，其結(jié)果即為點(diǎn)積。從幾何角度看，點(diǎn)積是兩個(gè)向量的長(zhǎng)度與它們夾角余弦的積。

具體來(lái)說(shuō)，▽?描述的是散度，它描述的是矢量場(chǎng)“發(fā)散” 的強(qiáng)弱。從物理意義上看，它表示矢量場(chǎng)的 “有源性”：如果散度大于 0，說(shuō)明這個(gè)矢量場(chǎng)在這一點(diǎn)有 “正源”（比如正電荷周?chē)碾妶?chǎng)，像泉水一樣向外發(fā)散）；如果散度小于 0，說(shuō)明有 “負(fù)源”（比如負(fù)電荷周?chē)碾妶?chǎng)，像下水道一樣向內(nèi)匯聚）；如果散度等于 0，就說(shuō)明這里沒(méi)有 “源”（比如磁場(chǎng)的散度永遠(yuǎn)為 0，因?yàn)闆](méi)有單磁體）。

向量叉乘：（外積）

叉乘（Cross Product）又稱(chēng)向量積（Vector Product）。對(duì)于三維空間中的兩個(gè)向量，叉乘的結(jié)果是一個(gè)新向量 a×b。模長(zhǎng)（大小）：叉乘結(jié)果向量的模長(zhǎng)等于兩個(gè)原始向量的模長(zhǎng)與它們夾角的正弦值的乘積。這個(gè)模長(zhǎng)具有明確的幾何意義：它表示以a 和b 為鄰邊構(gòu)成的 平行四邊形的面積 。因此叉乘的模長(zhǎng)反映了兩個(gè)向量的“垂直程度”。

▽× 描述的是旋度，描述的是矢量場(chǎng)在某一點(diǎn)附近的“旋轉(zhuǎn)程度”。旋度矢量的大小，等于 “繞著某一旋轉(zhuǎn)軸的環(huán)量” 與 “旋轉(zhuǎn)路徑圍成的面積” 之比；方向則是這個(gè)旋轉(zhuǎn)最劇烈的軸的方向，和旋轉(zhuǎn)方向滿(mǎn)足 “右手定則”（比如用右手四指彎曲指向旋轉(zhuǎn)方向，大拇指就是旋度的方向）。比如水流中的漩渦，旋轉(zhuǎn)越急，旋度就越大；而均勻流動(dòng)的水流，旋度則為 0。

理解了這些符號(hào)，再看麥克斯韋方程組，是不是就清晰多了？這組方程看似復(fù)雜，卻用最簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，揭開(kāi)了電與磁的神秘面紗，也為射頻技術(shù)鋪就了起點(diǎn)。

審核編輯 黃宇