這種不確定性可能是信息傳輸錯誤，例如“我喜歡你”變成了“我討厭你”。

也可能是信息丟失，比如：“大爺，我找馬冬梅”，“馬什么梅啊”。

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BEC二進制刪除信道

最后還需要給大家介紹的一個就是BEC二進制刪除信道（Binary Erasure Channel）



圖1 二進制刪除信道模型

BEC是二元通道，即它只能傳輸一個符號（0或1）。但它有一個很牛逼的屬性，就是傳0得0，傳1得1，即一個符號從通道X輸入，只要通道Y能接收到，就100%正確。但BEC也是不完美的，符號在BEC當(dāng)中會有



的概率直接擦除，因此BEC的信道容量上限C就是

信道聯(lián)合極化編碼思想

接下來才正式進入正題。

二進制刪除信道雖然牛逼，但是它也沒有實現(xiàn)讓信息速率在小于信道容量C的前提下，毫無差錯的傳送信息，因為它會以



的概率將要傳輸?shù)男畔G掉。現(xiàn)在問題來了，同時也是我們以上知識點的一個串聯(lián)，那有沒有一種辦法，讓二進制刪除信道通過某種神秘的編碼方式，讓信息速率以信道容量C，進行無差錯或者差錯小到令人滿意的一個概率來傳輸呢？ 答案是有的，這就是Polor碼的信道聯(lián)合極化編碼思想。 假設(shè)有和兩個符號需要傳送，直接傳輸，而在傳輸之前，需要先跟異或，得到，再通過BEC1信道直接傳送，這里的BEC信道擦除概率假定為0.5。如下圖所示：



圖2信道極化基本單元

也就是有… …(式1)? 已知： 異或算法：相同bit異或得0， 不同(異)bit異或得1 即… … (式2)? 同時異或算法還有一個還原特性：? 如果 則,? 這一特點也可以很輕松從(式2)中觀察得到。? 因此，可以通過得出。?

前面我們講過BEC信道特點是，只要傳輸成功就一定是正確的。所以肯定有：

… …(式3) ? 因此接收端在收到和時，可以輕松借助異或的還原特性得到最初傳送的數(shù)據(jù)和? ? 即… … (式4)

由 (式4)可以發(fā)現(xiàn)，接收端最終解碼和的過程其實根本不需要和的任何參與，因此可以認(rèn)為我們是重新構(gòu)造了一個新的二進二出的信號系統(tǒng)，如下圖所示： ?



圖3二進二出信號系統(tǒng)單元

并默認(rèn)該新的系統(tǒng)為有兩個子信道，其中可以由和算出，這個信道取名 至此我們分析一下能解出來的各種條件： 假設(shè)：和均成功接收，即兩個BEC信道都能傳輸成功，則解碼成功。 假如或者任意一個傳輸失敗，則肯定解不出來，如下表所示：



表1信道解碼情況 也就是說，在的這個信道里，只有在和均成功接收的條件下，才能解碼成功，成功的概率變成了 無語！本來可以直接通過BEC傳輸?shù)姆枺€有50%的解碼成功概率，經(jīng)過我們一系列騷操作這個信道成功率居然只剩下25%了。 ?

但？不是還剩下一個信道嘛，我們暫時取名為，并繼續(xù)假設(shè)一下：? 假設(shè)接收成功，則不論是否成功，都會有，解碼成功；? 假設(shè)失敗，失敗，則解碼失??； ? 那假設(shè)失敗，成功呢，雖然無法直接通過得到，但通過(式3)和異或算法的還原特性得到, 也就說即使傳輸失敗，但只要傳輸成功，借助，我們一樣能夠解碼出。 ? 也就是說，信道只有在和都傳輸失敗的情況下才會解碼失敗，解碼成功的概率竟然達到了75%！也就是如下表所示： ?



表2信道解碼情況 所以最終我們的操作，換來了一個通信質(zhì)量變差的信道，和另外一個通信質(zhì)量變好了的信道！ ?

嘿！還真差點就被糊弄了！信道的情況3中，是怎么被接收的呢？

這其實就是極化的核心思想：既然有差信道，那差信道就干脆不傳輸有效信息，這個過程就叫凍結(jié)。不傳有效信息，那傳什么呢？事先約定好一個值，一般是“0”，不論接收端有沒有接收到，均按照已知的算出即可。這個思想就是信道編碼，也就是冗余。 ?

當(dāng)然，將通道數(shù)量增多，就可以得到更加理想的信道和更差的信道，如果是8個通道，我們甚至可以得到如下的結(jié)果：



圖4 8通道極化碼示意圖及擦除概率

可以看到，擦除概率，也就是解碼失敗概率為0.0039的信道出現(xiàn)了！

事實上，只要信道數(shù)達到足夠多，就會被分為完全無噪聲的好信道，和完全噪聲的差信道，前者傳輸成功無限趨近于概率1， 后者則無限趨近于0， 并且好信道占比將達到原始信道容量的，也就是香農(nóng)極限。只要將有限信息都封鎖在好信道里，差信道全部凍結(jié)，信息就能以趨近于香農(nóng)極限的信道容量100%無失真的通信！

至此，就是Polor碼信道聯(lián)合極化編碼的基本思想。



審核編輯：劉清