摘要：背包問(wèn)題(Knapsack problem)是一種組合優(yōu)化的NP-Complete問(wèn)題。問(wèn)題可以描述為：給定一組物品，每種物品都有自己的重量和價(jià)格，在限定的總重量?jī)?nèi)，我們?nèi)绾芜x擇，才能使得物品的總價(jià)格最高。

背包問(wèn)題早期的研究可追溯到1897年，數(shù)學(xué)家托比亞斯·丹齊格（Tobias Dantzig，1884-1956）提出如何包裝最有價(jià)值或有用的物品而不會(huì)超載行李的問(wèn)題。使用傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)算法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，解決問(wèn)題所需的時(shí)間隨著問(wèn)題規(guī)模變大將呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。

因此，對(duì)于大規(guī)模的問(wèn)題，需要使用更高效的算法、近似算法或其他有效的工具來(lái)解決。背包算法一般提法是：一位旅行者攜帶背包去登山，已知他所能承受的背包重量限度為akg，現(xiàn)有n種物品可供他選擇裝入背包，第i種物品的單件重量為aikg，其價(jià)值（可以是表明本物品對(duì)登山的重要性的數(shù)量指標(biāo)）是攜帶數(shù)量xi的函數(shù)ci(xi)(i=1,2,...,n)，問(wèn)旅行者應(yīng)如何選擇攜帶各種物品的件數(shù)，以使總價(jià)值最大。相似問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在商業(yè)、組合數(shù)學(xué)，項(xiàng)目選擇，資本預(yù)算，計(jì)算復(fù)雜性理論、密碼學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)等領(lǐng)域中。

目前，許多背包問(wèn)題的理論研究已經(jīng)廣泛應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)生活中，幫助大量面向應(yīng)用程序的研究人員與從業(yè)者尋找更好、更快的解決方案來(lái)解決巨大的問(wèn)題。通常，背包問(wèn)題是更復(fù)雜的組合問(wèn)題的子問(wèn)題的優(yōu)化問(wèn)題，大多數(shù)需要選擇某些給定的子集來(lái)獲得利潤(rùn)總額最大化的項(xiàng)目，而分配的總重量不超過(guò)背包的容量。

背包問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用包括財(cái)務(wù)建模、生產(chǎn)和庫(kù)存管理系統(tǒng)、分層抽樣、制造中的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型設(shè)計(jì)以及制造中的流量過(guò)載控制電信系統(tǒng)。其他應(yīng)用領(lǐng)域包括產(chǎn)量管理、航空公司、酒店和租賃機(jī)構(gòu)、大學(xué)招生、質(zhì)量適應(yīng)和交互式多媒體系統(tǒng)的準(zhǔn)入控制、貨物裝載、資本預(yù)算、削減庫(kù)存問(wèn)題，以及巨大的分布式計(jì)算機(jī)處理分配系統(tǒng)。

北京玻色量子科技有限公司在5月16日新品發(fā)布會(huì)上推出的100計(jì)算量子比特相干光量子計(jì)算機(jī)真機(jī)——“天工量子大腦”，旨在快速、高效地求解NP-hard的Ising模型。背包問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)Ising/QUBO模型，“天工量子大腦”可以極大簡(jiǎn)化求解步驟并在毫秒級(jí)的時(shí)間內(nèi)給出問(wèn)題的全局最優(yōu)解。

問(wèn)題描述

背包問(wèn)題是基本的組合優(yōu)化問(wèn)題，我們引入這個(gè)背包問(wèn)題的二次版本進(jìn)行分析，二次指物品之間的選擇關(guān)系會(huì)影響物品的價(jià)值取值，即二次背包問(wèn)題（Quadratic KnapsackProblem），該問(wèn)題是經(jīng)典的NP-Hard問(wèn)題之一。

建模思路

首先給出二次背包問(wèn)題的混合整數(shù)規(guī)劃模型

其中xj表示是否選擇物品j，xj=1表示選擇，否則表示不選擇，vij是物品i,j的交互價(jià)值，aj為物品j的體積，b為背包的容量限制。我們引入懲罰系數(shù)P和m+1個(gè)0/1松弛變量yk,k∈{0,...,m}將模型轉(zhuǎn)寫(xiě)為QUBO模型。

首先將不等式約束配平得到式（2）

將式（2）平方后乘上懲罰系數(shù)即可以轉(zhuǎn)為無(wú)約束的表達(dá)，得到式（3），即該問(wèn)題的QUBO模型

我們用下面的例子來(lái)進(jìn)一步分析。

其中式（5）為不等式約束，舉例而言，如不等式a-b<0可以通過(guò)引入輔助變量c轉(zhuǎn)化為等式a-b+c=0,c>0，其中c也叫做松弛變量，我們引入輔助松弛0/1變量x5,x6來(lái)配平式（5）。

? （6）

因此，我們得到QUBO模型為：

我們?nèi)=10，同時(shí)根據(jù)x2=x（x為0/1變量）的特性，我們可以化簡(jiǎn)式子，舍去常數(shù)項(xiàng)2560后，我們得到QUBO模型的矩陣表達(dá)：

? ? ? ? （8）

其中Q矩陣為：

求解這個(gè)QUBO模型，我們可以得到最優(yōu)解

x1=x3=x4=1,x2=x5=x6=0,y=-2588。

問(wèn)題拓展

背包問(wèn)題是經(jīng)典的NP-hard問(wèn)題，在數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用。該問(wèn)題有多個(gè)擴(kuò)展和變種，其中一些常見(jiàn)的包括：

多重背包問(wèn)題（Multiple Knapsack Problem）：在多重背包問(wèn)題中，每種物品有多個(gè)可用的副本，而不僅僅是一個(gè)。每個(gè)物品的數(shù)量限制可能不同，目標(biāo)是選擇物品的副本來(lái)最大化總價(jià)值。

無(wú)界背包問(wèn)題（Unbounded Knapsack Problem）：在無(wú)界背包問(wèn)題中，每種物品有無(wú)限多個(gè)可用的副本。目標(biāo)是選擇物品的副本來(lái)最大化總價(jià)值。

分?jǐn)?shù)背包問(wèn)題（Fractional Knapsack Problem）：在分?jǐn)?shù)背包問(wèn)題中，物品可以被分割成任意比例，可以選擇部分物品放入背包中。目標(biāo)是選擇物品的比例來(lái)最大化總價(jià)值。

有約束背包問(wèn)題（Constrained Knapsack Problem）：在有約束背包問(wèn)題中，除了背包容量限制外，還存在其他約束條件，如物品之間的依賴關(guān)系、物品的數(shù)量限制等。目標(biāo)是在滿足所有約束條件的前提下，選擇物品來(lái)最大化總價(jià)值。

未來(lái)，玻色量子將依托100計(jì)算量子比特相干光量子計(jì)算機(jī)真機(jī)——“天工量子大腦”，聚焦“實(shí)用化量子計(jì)算”，不斷深入研究更多NP-Complete問(wèn)題，拓展更多可實(shí)用化量子計(jì)算的真實(shí)應(yīng)用場(chǎng)景。

玻色量子還將啟動(dòng)“燎原計(jì)劃”開(kāi)發(fā)者平臺(tái)，并持續(xù)對(duì)外開(kāi)放“天工量子大腦”的真機(jī)測(cè)試，熱忱歡迎更多不同領(lǐng)域的研究伙伴前來(lái)了解相干量子計(jì)算的原理和能力，在此基礎(chǔ)上展開(kāi)共同研發(fā)，用量子計(jì)算去解決更多真實(shí)場(chǎng)景中的問(wèn)題，讓量子計(jì)算的超強(qiáng)算力能真正服務(wù)于各行各業(yè)，滿足未來(lái)時(shí)代對(duì)于計(jì)算的需求。

審核編輯：劉清