希爾排序時(shí)效分析很難，關(guān)鍵碼的比較次數(shù)與記錄移動(dòng)次數(shù)依賴于增量因子序列d的選取，特定情況下可以準(zhǔn)確估算出關(guān)鍵碼的比較次數(shù)和記錄的移動(dòng)次數(shù)。目前還沒有人給出選取最好的增量因子序列的方法。增量因子序列可以有各種取法，有取奇數(shù)的，也有取質(zhì)數(shù)的，但需要注意：增量因子中除1 外沒有公因子，且最后一個(gè)增量因子必須為1。希爾排序方法是一個(gè)不穩(wěn)定的排序方法。

3.選擇排序—簡單選擇排序（Simple Selection Sort）

基本思想：

在要排序的一組數(shù)中，選出最?。ɑ蛘咦畲螅┑囊粋€(gè)數(shù)與第1個(gè)位置的數(shù)交換；然后在剩下的數(shù)當(dāng)中再找最?。ɑ蛘咦畲螅┑呐c第2個(gè)位置的數(shù)交換，依次類推，直到第n-1個(gè)元素（倒數(shù)第二個(gè)數(shù)）和第n個(gè)元素（最后一個(gè)數(shù)）比較為止。

簡單選擇排序的示例：

操作方法：

第一趟，從n 個(gè)記錄中找出關(guān)鍵碼最小的記錄與第一個(gè)記錄交換；

第二趟，從第二個(gè)記錄開始的n-1 個(gè)記錄中再選出關(guān)鍵碼最小的記錄與第二個(gè)記錄交換；

以此類推.....

第i 趟，則從第i 個(gè)記錄開始的n-i+1 個(gè)記錄中選出關(guān)鍵碼最小的記錄與第i 個(gè)記錄交換，

直到整個(gè)序列按關(guān)鍵碼有序。

算法實(shí)現(xiàn)：

void print(int a[], int n ,int i){

cout<<"第"<

for(int j= 0; j<8; j++){

cout<

}

cout<

}

/**

* 數(shù)組的最小值

*

* @return int 數(shù)組的鍵值

*/

int SelectMinKey(int a[], int n, int i)

{

int k = i;

for(int j=i+1 ;j< n; ++j) {

if(a[k] > a[j]) k = j;

}

return k;

}

/**

* 選擇排序

*

*/

void selectSort(int a[], int n){

int key, tmp;

for(int i = 0; i< n; ++i) {

key = SelectMinKey(a, n,i); //選擇最小的元素

if(key != i){

tmp = a[i]; a[i] = a[key]; a[key] = tmp; //最小元素與第i位置元素互換

}

print(a, n , i);

}

}

int main(){

int a[8] = {3,1,5,7,2,4,9,6};

cout<<"初始值：";

for(int j= 0; j<8; j++){

cout<

}

cout<

selectSort(a, 8);

print(a,8,8);

}

簡單選擇排序的改進(jìn)——二元選擇排序

簡單選擇排序，每趟循環(huán)只能確定一個(gè)元素排序后的定位。我們可以考慮改進(jìn)為每趟循環(huán)確定兩個(gè)元素（當(dāng)前趟最大和最小記錄）的位置,從而減少排序所需的循環(huán)次數(shù)。改進(jìn)后對n個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，最多只需進(jìn)行[n/2]趟循環(huán)即可。具體實(shí)現(xiàn)如下：

void SelectSort(int r[],int n) {

int i ,j , min ,max, tmp;

for (i=1 ;i <= n/2;i++) {

// 做不超過n/2趟選擇排序

min = i; max = i ; //分別記錄最大和最小關(guān)鍵字記錄位置

for (j= i+1; j<= n-i; j++) {

if (r[j] > r[max]) {

max = j ; continue ;

}

if (r[j]< r[min]) {

min = j ;

}

}

//該交換操作還可分情況討論以提高效率

tmp = r[i-1]; r[i-1] = r[min]; r[min] = tmp;

tmp = r[n-i]; r[n-i] = r[max]; r[max] = tmp;

}

}

4.選擇排序—堆排序（Heap Sort）

堆排序是一種樹形選擇排序，是對直接選擇排序的有效改進(jìn)。

基本思想：

堆的定義如下：具有n個(gè)元素的序列（k1,k2,...,kn),當(dāng)且僅當(dāng)滿足

時(shí)稱之為堆。由堆的定義可以看出，堆頂元素（即第一個(gè)元素）必為最小項(xiàng)（小頂堆）。

若以一維數(shù)組存儲一個(gè)堆，則堆對應(yīng)一棵完全二叉樹，且所有非葉結(jié)點(diǎn)的值均不大于(或不小于)其子女的值，根結(jié)點(diǎn)（堆頂元素）的值是最小(或最大)的。如：

（a）大頂堆序列：（96, 83,27,38,11,09)

(b) 小頂堆序列：（12，36，24，85，47，30，53，91）

初始時(shí)把要排序的n個(gè)數(shù)的序列看作是一棵順序存儲的二叉樹（一維數(shù)組存儲二叉樹），調(diào)整它們的存儲序，使之成為一個(gè)堆，將堆頂元素輸出，得到n 個(gè)元素中最小(或最大)的元素，這時(shí)堆的根節(jié)點(diǎn)的數(shù)最小（或者最大）。然后對前面(n-1)個(gè)元素重新調(diào)整使之成為堆，輸出堆頂元素，得到n 個(gè)元素中次小(或次大)的元素。依此類推，直到只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的堆，并對它們作交換，最后得到有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的有序序列。稱這個(gè)過程為堆排序。

因此，實(shí)現(xiàn)堆排序需解決兩個(gè)問題：

1. 如何將n 個(gè)待排序的數(shù)建成堆；
2. 輸出堆頂元素后，怎樣調(diào)整剩余n-1 個(gè)元素，使其成為一個(gè)新堆。

首先討論第二個(gè)問題：輸出堆頂元素后，對剩余n-1元素重新建成堆的調(diào)整過程。

調(diào)整小頂堆的方法：

1）設(shè)有m 個(gè)元素的堆，輸出堆頂元素后，剩下m-1 個(gè)元素。將堆底元素送入堆頂（（最后一個(gè)元素與堆頂進(jìn)行交換），堆被破壞，其原因僅是根結(jié)點(diǎn)不滿足堆的性質(zhì)。

2）將根結(jié)點(diǎn)與左、右子樹中較小元素的進(jìn)行交換。

3）若與左子樹交換：如果左子樹堆被破壞，即左子樹的根結(jié)點(diǎn)不滿足堆的性質(zhì)，則重復(fù)方法 （2）.

4）若與右子樹交換，如果右子樹堆被破壞，即右子樹的根結(jié)點(diǎn)不滿足堆的性質(zhì)。則重復(fù)方法 （2）.

5）繼續(xù)對不滿足堆性質(zhì)的子樹進(jìn)行上述交換操作，直到葉子結(jié)點(diǎn)，堆被建成。

稱這個(gè)自根結(jié)點(diǎn)到葉子結(jié)點(diǎn)的調(diào)整過程為篩選。如圖：

再討論對n 個(gè)元素初始建堆的過程。

建堆方法：對初始序列建堆的過程，就是一個(gè)反復(fù)進(jìn)行篩選的過程。

1）n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹，則最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)是第個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹。

2）篩選從第個(gè)結(jié)點(diǎn)為根的子樹開始，該子樹成為堆。

3）之后向前依次對各結(jié)點(diǎn)為根的子樹進(jìn)行篩選，使之成為堆，直到根結(jié)點(diǎn)。

如圖建堆初始過程：無序序列：（49，38，65，97，76，13，27，49）

算法的實(shí)現(xiàn)：

從算法描述來看，堆排序需要兩個(gè)過程，一是建立堆，二是堆頂與堆的最后一個(gè)元素交換位置。所以堆排序有兩個(gè)函數(shù)組成。一是建堆的滲透函數(shù)，二是反復(fù)調(diào)用滲透函數(shù)實(shí)現(xiàn)排序的函數(shù)。

void print(int a[], int n){

for(int j= 0; j

cout<

}

cout<

}

/**

* 已知H[s…m]除了H[s] 外均滿足堆的定義

* 調(diào)整H[s],使其成為大頂堆.即將對第s個(gè)結(jié)點(diǎn)為根的子樹篩選,

*

* @param H是待調(diào)整的堆數(shù)組

* @param s是待調(diào)整的數(shù)組元素的位置

* @param length是數(shù)組的長度

*

*/

void HeapAdjust(int H[],int s, int length)

{

int tmp = H[s];

int child = 2*s+1; //左孩子結(jié)點(diǎn)的位置。(i+1 為當(dāng)前調(diào)整結(jié)點(diǎn)的右孩子結(jié)點(diǎn)的位置)

while (child < length) {

if(child+1

++child ;

}

if(H[s]

H[s] = H[child]; // 那么把較大的子結(jié)點(diǎn)往上移動(dòng)，替換它的父結(jié)點(diǎn)

s = child; // 重新設(shè)置s ,即待調(diào)整的下一個(gè)結(jié)點(diǎn)的位置

child = 2*s+1;

} else { // 如果當(dāng)前待調(diào)整結(jié)點(diǎn)大于它的左右孩子，則不需要調(diào)整，直接退出

break;

}

H[s] = tmp; // 當(dāng)前待調(diào)整的結(jié)點(diǎn)放到比其大的孩子結(jié)點(diǎn)位置上

}

print(H,length);

}

/**

* 初始堆進(jìn)行調(diào)整

* 將H[0..length-1]建成堆

* 調(diào)整完之后第一個(gè)元素是序列的最小的元素

*/

void BuildingHeap(int H[], int length)

{

//最后一個(gè)有孩子的節(jié)點(diǎn)的位置 i= (length -1) / 2

for (int i = (length -1) / 2 ; i >= 0; --i)

HeapAdjust(H,i,length);

}

/**

* 堆排序算法

*/

void HeapSort(int H[],int length)

{

//初始堆

BuildingHeap(H, length);

//從最后一個(gè)元素開始對序列進(jìn)行調(diào)整

for (int i = length - 1; i > 0; --i)

{

//交換堆頂元素H[0]和堆中最后一個(gè)元素

int temp = H[i]; H[i] = H[0]; H[0] = temp;

//每次交換堆頂元素和堆中最后一個(gè)元素之后，都要對堆進(jìn)行調(diào)整

HeapAdjust(H,0,i);

}

}

int main(){

int H[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};

cout<<"初始值：";

print(H,10);

HeapSort(H,10);

//selectSort(a, 8);

cout<<"結(jié)果：";

print(H,10);

}

分析:

設(shè)樹深度為k，。從根到葉的篩選，元素比較次數(shù)至多2(k-1)次，交換記錄至多k 次。所以，在建好堆后，排序過程中的篩選次數(shù)不超過下式：

而建堆時(shí)的比較次數(shù)不超過4n 次，因此堆排序最壞情況下，時(shí)間復(fù)雜度也為：O(nlogn )。

5.交換排序—冒泡排序（Bubble Sort）

基本思想：

在要排序的一組數(shù)中，對當(dāng)前還未排好序的范圍內(nèi)的全部數(shù)，自上而下對相鄰的兩個(gè)數(shù)依次進(jìn)行比較和調(diào)整，讓較大的數(shù)往下沉，較小的往上冒。即：每當(dāng)兩相鄰的數(shù)比較后發(fā)現(xiàn)它們的排序與排序要求相反時(shí)，就將它們互換。

冒泡排序的示例：

算法的實(shí)現(xiàn)：

void bubbleSort(int a[], int n){

for(int i =0 ; i< n-1; ++i) {

for(int j = 0; j < n-i-1; ++j) {

if(a[j] > a[j+1])

{

int tmp = a[j] ; a[j] = a[j+1] ; a[j+1] = tmp;

}

}

}

}

冒泡排序算法的改進(jìn)

對冒泡排序常見的改進(jìn)方法是加入一標(biāo)志性變量exchange，用于標(biāo)志某一趟排序過程中是否有數(shù)據(jù)交換，如果進(jìn)行某一趟排序時(shí)并沒有進(jìn)行數(shù)據(jù)交換，則說明數(shù)據(jù)已經(jīng)按要求排列好，可立即結(jié)束排序，避免不必要的比較過程。本文再提供以下兩種改進(jìn)算法：

1.設(shè)置一標(biāo)志性變量pos,用于記錄每趟排序中最后一次進(jìn)行交換的位置。由于pos位置之后的記錄均已交換到位,故在進(jìn)行下一趟排序時(shí)只要掃描到pos位置即可。

改進(jìn)后算法如下:

void Bubble_1 ( int r[], int n) {

int i= n -1; //初始時(shí),最后位置保持不變

while ( i> 0) {

int pos= 0; //每趟開始時(shí),無記錄交換

for (int j= 0; j< i; j++)

if (r[j]> r[j+1]) {

pos= j; //記錄交換的位置

int tmp = r[j]; r[j]=r[j+1];r[j+1]=tmp;

}

i= pos; //為下一趟排序作準(zhǔn)備

}

}

2.傳統(tǒng)冒泡排序中每一趟排序操作只能找到一個(gè)最大值或最小值,我們考慮利用在每趟排序中進(jìn)行正向和反向兩遍冒泡的方法一次可以得到兩個(gè)最終值(最大者和最小者) , 從而使排序趟數(shù)幾乎減少了一半。

改進(jìn)后的算法實(shí)現(xiàn)為:

void Bubble_2 ( int r[], int n){

int low = 0;

int high= n -1; //設(shè)置變量的初始值

int tmp,j;

while (low < high) {

for (j= low; j< high; ++j) //正向冒泡,找到最大者

if (r[j]> r[j+1]) {

tmp = r[j]; r[j]=r[j+1];r[j+1]=tmp;

}

--high; //修改high值, 前移一位

for ( j=high; j>low; --j) //反向冒泡,找到最小者

if (r[j]

tmp = r[j]; r[j]=r[j-1];r[j-1]=tmp;

}

++low; //修改low值,后移一位

}

}

6.交換排序—快速排序（Quick Sort）

基本思想：

1）選擇一個(gè)基準(zhǔn)元素,通常選擇第一個(gè)元素或者最后一個(gè)元素,

2）通過一趟排序講待排序的記錄分割成獨(dú)立的兩部分，其中一部分記錄的元素值均比基準(zhǔn)元素值小。另一部分記錄的 元素值比基準(zhǔn)值大。

3）此時(shí)基準(zhǔn)元素在其排好序后的正確位置

4）然后分別對這兩部分記錄用同樣的方法繼續(xù)進(jìn)行排序，直到整個(gè)序列有序。

快速排序的示例：

（a）一趟排序的過程：

（b）排序的全過程

算法的實(shí)現(xiàn)：

遞歸實(shí)現(xiàn)：

void print(int a[], int n){

for(int j= 0; j

cout<

}

cout<

}

void swap(int *a, int *b)

{

int tmp = *a;

*a = *b;

*b = tmp;

}

int partition(int a[], int low, int high)

{

int privotKey = a[low]; //基準(zhǔn)元素

while(low < high){ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? //從表的兩端交替地向中間掃描

while(low < high ?&& a[high] >= privotKey) --high; //從high 所指位置向前搜索，至多到low+1 位置。將比基準(zhǔn)元素小的交換到低端

swap(&a[low], &a[high]);

while(low < high ?&& a[low] <= privotKey ) ++low;

swap(&a[low], &a[high]);

}

print(a,10);

return low;

}

void quickSort(int a[], int low, int high){

if(low < high){

int privotLoc = partition(a, low, high); //將表一分為二

quickSort(a, low, privotLoc -1); //遞歸對低子表遞歸排序

quickSort(a, privotLoc + 1, high); //遞歸對高子表遞歸排序

}

}

int main(){

int a[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};

cout<<"初始值：";

print(a,10);

quickSort(a,0,9);

cout<<"結(jié)果：";

print(a,10);

}

分析：

快速排序是通常被認(rèn)為在同數(shù)量級（O(nlog2n)）的排序方法中平均性能最好的。但若初始序列按關(guān)鍵碼有序或基本有序時(shí)，快排序反而蛻化為冒泡排序。為改進(jìn)之，通常以“三者取中法”來選取基準(zhǔn)記錄，即將排序區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)與中點(diǎn)三個(gè)記錄關(guān)鍵碼居中的調(diào)整為支點(diǎn)記錄?？焖倥判蚴且粋€(gè)不穩(wěn)定的排序方法。

快速排序的改進(jìn)

在本改進(jìn)算法中,只對長度大于k的子序列遞歸調(diào)用快速排序,讓原序列基本有序，然后再對整個(gè)基本有序序列用插入排序算法排序。實(shí)踐證明，改進(jìn)后的算法時(shí)間復(fù)雜度有所降低，且當(dāng)k取值為 8 左右時(shí),改進(jìn)算法的性能最佳。算法思想如下：

void print(int a[], int n){

for(int j= 0; j

cout<

}

cout<

}

void swap(int *a, int *b)

{

int tmp = *a;

*a = *b;

*b = tmp;

}

int partition(int a[], int low, int high)

{

int privotKey = a[low]; //基準(zhǔn)元素

while(low < high){ ? ? ? ? ? ? ? ? ? //從表的兩端交替地向中間掃描

while(low < high ?&& a[high] >= privotKey) --high; //從high 所指位置向前搜索，至多到low+1 位置。將比基準(zhǔn)元素小的交換到低端

swap(&a[low], &a[high]);

while(low < high ?&& a[low] <= privotKey ) ++low;

swap(&a[low], &a[high]);

}

print(a,10);

return low;

}

void qsort_improve(int r[ ],int low,int high, int k){

if( high -low > k ) { //長度大于k時(shí)遞歸, k為指定的數(shù)

int pivot = partition(r, low, high); // 調(diào)用的Partition算法保持不變

qsort_improve(r, low, pivot - 1,k);

qsort_improve(r, pivot + 1, high,k);

}

}

void quickSort(int r[], int n, int k){

qsort_improve(r,0,n,k);//先調(diào)用改進(jìn)算法Qsort使之基本有序

//再用插入排序?qū)居行蛐蛄信判?/p>

for(int i=1; i<=n;i ++){

int tmp = r[i];

int j=i-1;

while(tmp < r[j]){

r[j+1]=r[j]; j=j-1;

}

r[j+1] = tmp;

}

}

int main(){

int a[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};

cout<<"初始值：";

print(a,10);

quickSort(a,9,4);

cout<<"結(jié)果：";

print(a,10);

}

7.歸并排序（Merge Sort）

基本思想：

歸并（Merge）排序法是將兩個(gè)（或兩個(gè)以上）有序表合并成一個(gè)新的有序表，即把待排序序列分為若干個(gè)子序列，每個(gè)子序列是有序的。然后再把有序子序列合并為整體有序序列。

歸并排序示例：

合并方法：

設(shè)r[i…n]由兩個(gè)有序子表r[i…m]和r[m+1…n]組成，兩個(gè)子表長度分別為n-i +1、n-m。

1.j=m+1；k=i；i=i; //置兩個(gè)子表的起始下標(biāo)及輔助數(shù)組的起始下標(biāo)

2.若i>m 或j>n，轉(zhuǎn)⑷ //其中一個(gè)子表已合并完，比較選取結(jié)束

3.//選取r[i]和r[j]較小的存入輔助數(shù)組rf

如果r[i]

否則，rf[k]=r[j]； j++； k++； 轉(zhuǎn)⑵

4.//將尚未處理完的子表中元素存入rf

如果i<=m，將r[i…m]存入rf[k…n] //前一子表非空
如果j<=n , 將r[j…n] 存入rf[k…n] //后一子表非空

5.合并結(jié)束。

//將r[i…m]和r[m +1 …n]歸并到輔助數(shù)組rf[i…n]

void Merge(ElemType *r,ElemType *rf, int i, int m, int n)

{

int j,k;

for(j=m+1,k=i; i<=m && j <=n ; ++k){

if(r[j] < r[i]) rf[k] = r[j++];

else rf[k] = r[i++];

}

while(i <= m) ?rf[k++] = r[i++];

while(j <= n) ?rf[k++] = r[j++];

}

歸并的迭代算法

1個(gè)元素的表總是有序的。所以對n 個(gè)元素的待排序列，每個(gè)元素可看成1 個(gè)有序子表。對子表兩兩合并生成n/2個(gè)子表，所得子表除最后一個(gè)子表長度可能為1 外，其余子表長度均為2。再進(jìn)行兩兩合并，直到生成n 個(gè)元素按關(guān)鍵碼有序的表。

void print(int a[], int n){

for(int j= 0; j

cout<

}

cout<

}

//將r[i…m]和r[m +1 …n]歸并到輔助數(shù)組rf[i…n]

void Merge(ElemType *r,ElemType *rf, int i, int m, int n)

{

int j,k;

for(j=m+1,k=i; i<=m && j <=n ; ++k){

if(r[j] < r[i]) rf[k] = r[j++];

else rf[k] = r[i++];

}

while(i <= m) ?rf[k++] = r[i++];

while(j <= n) ?rf[k++] = r[j++];

print(rf,n+1);

}

void MergeSort(ElemType *r, ElemType *rf, int lenght)

{

int len = 1;

ElemType *q = r ;

ElemType *tmp ;

while(len < lenght) {

int s = len;

len = 2 * s ;

int i = 0;

while(i+ len

Merge(q, rf, i, i+ s-1, i+ len-1 ); //對等長的兩個(gè)子表合并

i = i+ len;

}

if(i + s < lenght){

Merge(q, rf, i, i+ s -1, lenght -1); //對不等長的兩個(gè)子表合并

}

tmp = q; q = rf; rf = tmp; //交換q,rf，以保證下一趟歸并時(shí)，仍從q 歸并到rf

}

}

int main(){

int a[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};

int b[10];

MergeSort(a, b, 10);

print(b,10);

cout<<"結(jié)果：";

print(a,10);

}

兩路歸并的遞歸算法

void MSort(ElemType *r, ElemType *rf,int s, int t)

{

ElemType *rf2;

if(s==t) r[s] = rf[s];

else

{

int m=(s+t)/2; /*平分*p 表*/

MSort(r, rf2, s, m); /*遞歸地將p[s…m]歸并為有序的p2[s…m]*/

MSort(r, rf2, m+1, t); /*遞歸地將p[m+1…t]歸并為有序的p2[m+1…t]*/

Merge(rf2, rf, s, m+1,t); /*將p2[s…m]和p2[m+1…t]歸并到p1[s…t]*/

}

}

void MergeSort_recursive(ElemType *r, ElemType *rf, int n)

{ /*對順序表*p 作歸并排序*/

MSort(r, rf,0, n-1);

}

8.桶排序/基數(shù)排序(Radix Sort)

說基數(shù)排序之前，我們先說桶排序：

基本思想：是將陣列分到有限數(shù)量的桶子里。每個(gè)桶子再個(gè)別排序（有可能再使用別的排序算法或是以遞回方式繼續(xù)使用桶排序進(jìn)行排序）。桶排序是鴿巢排序的一種歸納結(jié)果。當(dāng)要被排序的陣列內(nèi)的數(shù)值是均勻分配的時(shí)候，桶排序使用線性時(shí)間（Θ（n））。但桶排序并不是 比較排序，他不受到 O(n log n) 下限的影響。

簡單來說，就是把數(shù)據(jù)分組，放在一個(gè)個(gè)的桶中，然后對每個(gè)桶里面的在進(jìn)行排序。

例如要對大小為[1..1000]范圍內(nèi)的n個(gè)整數(shù)A[1..n]排序

首先，可以把桶設(shè)為大小為10的范圍，具體而言，設(shè)集合B[1]存儲[1..10]的整數(shù)，集合B[2]存儲 (10..20]的整數(shù)，……集合B[i]存儲( (i-1)*10, i*10]的整數(shù)，i = 1,2,..100?？偣灿?100個(gè)桶。

然后，對A[1..n]從頭到尾掃描一遍，把每個(gè)A[i]放入對應(yīng)的桶B[j]中。 再對這100個(gè)桶中每個(gè)桶里的數(shù)字排序，這時(shí)可用冒泡，選擇，乃至快排，一般來說任 何排序法都可以。

最后，依次輸出每個(gè)桶里面的數(shù)字，且每個(gè)桶中的數(shù)字從小到大輸出，這 樣就得到所有數(shù)字排好序的一個(gè)序列了。

假設(shè)有n個(gè)數(shù)字，有m個(gè)桶，如果數(shù)字是平均分布的，則每個(gè)桶里面平均有n/m個(gè)數(shù)字。如果對每個(gè)桶中的數(shù)字采用快速排序，那么整個(gè)算法的復(fù)雜度是 O(n + m * n/m*log(n/m)) = O(n + nlogn - nlogm) 從上式看出，當(dāng)m接近n的時(shí)候，桶排序復(fù)雜度接近O(n)

當(dāng)然，以上復(fù)雜度的計(jì)算是基于輸入的n個(gè)數(shù)字是平均分布這個(gè)假設(shè)的。這個(gè)假設(shè)是很強(qiáng)的 ，實(shí)際應(yīng)用中效果并沒有這么好。如果所有的數(shù)字都落在同一個(gè)桶中，那就退化成一般的排序了。

前面說的幾大排序算法 ，大部分時(shí)間復(fù)雜度都是O（n2），也有部分排序算法時(shí)間復(fù)雜度是O(nlogn)。而桶式排序卻能實(shí)現(xiàn)O（n）的時(shí)間復(fù)雜度。但桶排序的缺點(diǎn)是：

1）首先是空間復(fù)雜度比較高，需要的額外開銷大。排序有兩個(gè)數(shù)組的空間開銷，一個(gè)存放待排序數(shù)組，一個(gè)就是所謂的桶，比如待排序值是從0到m-1，那就需要m個(gè)桶，這個(gè)桶數(shù)組就要至少m個(gè)空間。

2）其次待排序的元素都要在一定的范圍內(nèi)等等。

桶式排序是一種分配排序。分配排序的特定是不需要進(jìn)行關(guān)鍵碼的比較，但前提是要知道待排序列的一些具體情況。

分配排序的基本思想：說白了就是進(jìn)行多次的桶式排序。

基數(shù)排序過程無須比較關(guān)鍵字，而是通過“分配”和“收集”過程來實(shí)現(xiàn)排序。它們的時(shí)間復(fù)雜度可達(dá)到線性階：O(n)。

實(shí)例:

撲克牌中52 張牌，可按花色和面值分成兩個(gè)字段，其大小關(guān)系為：

花色： 梅花< 方塊< 紅心< 黑心
面值： 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < J < Q < K < A

若對撲克牌按花色、面值進(jìn)行升序排序，得到如下序列：

即兩張牌，若花色不同，不論面值怎樣，花色低的那張牌小于花色高的，只有在同花色情況下，大小關(guān)系才由面值的大小確定。這就是多關(guān)鍵碼排序。

為得到排序結(jié)果，我們討論兩種排序方法。

方法1：先對花色排序，將其分為4 個(gè)組，即梅花組、方塊組、紅心組、黑心組。再對每個(gè)組分別按面值進(jìn)行排序，最后，將4 個(gè)組連接起來即可。

方法2：先按13 個(gè)面值給出13 個(gè)編號組(2 號，3 號，...，A 號)，將牌按面值依次放入對應(yīng)的編號組，分成13 堆。再按花色給出4 個(gè)編號組(梅花、方塊、紅心、黑心)，將2號組中牌取出分別放入對應(yīng)花色組，再將3 號組中牌取出分別放入對應(yīng)花色組，……，這樣，4 個(gè)花色組中均按面值有序，然后，將4 個(gè)花色組依次連接起來即可。

設(shè)n 個(gè)元素的待排序列包含d 個(gè)關(guān)鍵碼{k1，k2，…，kd}，則稱序列對關(guān)鍵碼{k1，k2，…，kd}有序是指：對于序列中任兩個(gè)記錄r[i]和r[j](1≤i≤j≤n)都滿足下列有序關(guān)系：

其中k1 稱為最主位關(guān)鍵碼，kd 稱為最次位關(guān)鍵碼 。

兩種多關(guān)鍵碼排序方法：

多關(guān)鍵碼排序按照從最主位關(guān)鍵碼到最次位關(guān)鍵碼或從最次位到最主位關(guān)鍵碼的順序逐次排序，分兩種方法：

最高位優(yōu)先(Most Significant Digit first)法，簡稱MSD 法：

1）先按k1 排序分組，將序列分成若干子序列，同一組序列的記錄中，關(guān)鍵碼k1 相等。

2）再對各組按k2 排序分成子組，之后，對后面的關(guān)鍵碼繼續(xù)這樣的排序分組，直到按最次位關(guān)鍵碼kd 對各子組排序后。

3）再將各組連接起來，便得到一個(gè)有序序列。撲克牌按花色、面值排序中介紹的方法一即是MSD 法。

最低位優(yōu)先(Least Significant Digit first)法，簡稱LSD 法：

1) 先從kd 開始排序，再對kd-1進(jìn)行排序，依次重復(fù)，直到按k1排序分組分成最小的子序列后。

2) 最后將各個(gè)子序列連接起來，便可得到一個(gè)有序的序列, 撲克牌按花色、面值排序中介紹的方法二即是LSD 法。

基于LSD方法的鏈?zhǔn)交鶖?shù)排序的基本思想

“多關(guān)鍵字排序”的思想實(shí)現(xiàn)“單關(guān)鍵字排序”。對數(shù)字型或字符型的單關(guān)鍵字，可以看作由多個(gè)數(shù)位或多個(gè)字符構(gòu)成的多關(guān)鍵字，此時(shí)可以采用“分配-收集”的方法進(jìn)行排序，這一過程稱作基數(shù)排序法，其中每個(gè)數(shù)字或字符可能的取值個(gè)數(shù)稱為基數(shù)。比如，撲克牌的花色基數(shù)為4，面值基數(shù)為13。在整理撲克牌時(shí)，既可以先按花色整理，也可以先按面值整理。按花色整理時(shí)，先按紅、黑、方、花的順序分成4摞（分配），再按此順序再疊放在一起（收集），然后按面值的順序分成13摞（分配），再按此順序疊放在一起（收集），如此進(jìn)行二次分配和收集即可將撲克牌排列有序。

基數(shù)排序:

是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次類推，直到最高位。有時(shí)候有些屬性是有優(yōu)先級順序的，先按低優(yōu)先級排序，再按高優(yōu)先級排序。最后的次序就是高優(yōu)先級高的在前，高優(yōu)先級相同的低優(yōu)先級高的在前?；鶖?shù)排序基于分別排序，分別收集，所以是穩(wěn)定的。

算法實(shí)現(xiàn)：

Void RadixSort(Node L[],length,maxradix)

{

int m,n,k,lsp;

k=1;m=1;

int temp[10][length-1];

Empty(temp); //清空臨時(shí)空間

while(k

{

for(int i=0;i

{

if(L[i]

Temp[0][n]=L[i];

else

Lsp=(L[i]/m)%10; //確定關(guān)鍵字

Temp[lsp][n]=L[i];

n++;

}

CollectElement(L,Temp); //收集

n=0;

m=m*10;

k++;

}

}

總結(jié)

各種排序的穩(wěn)定性，時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度總結(jié)：

我們比較時(shí)間復(fù)雜度函數(shù)的情況：

時(shí)間復(fù)雜度函數(shù)O(n)的增長情況

所以對n較大的排序記錄。一般的選擇都是時(shí)間復(fù)雜度為O(nlog2n)的排序方法。

時(shí)間復(fù)雜度來說：

(1)平方階(O(n2))排序

各類簡單排序:直接插入、直接選擇和冒泡排序；

(2)線性對數(shù)階(O(nlog2n))排序

快速排序、堆排序和歸并排序；

(3)O(n1+§))排序,§是介于0和1之間的常數(shù)。

希爾排序

(4)線性階(O(n))排序

基數(shù)排序，此外還有桶、箱排序。

說明：

當(dāng)原表有序或基本有序時(shí)，直接插入排序和冒泡排序?qū)⒋蟠鬁p少比較次數(shù)和移動(dòng)記錄的次數(shù)，時(shí)間復(fù)雜度可降至O（n）；

而快速排序則相反，當(dāng)原表基本有序時(shí)，將蛻化為冒泡排序，時(shí)間復(fù)雜度提高為O（n2）；

原表是否有序，對簡單選擇排序、堆排序、歸并排序和基數(shù)排序的時(shí)間復(fù)雜度影響不大。

穩(wěn)定性：

排序算法的穩(wěn)定性:若待排序的序列中，存在多個(gè)具有相同關(guān)鍵字的記錄，經(jīng)過排序， 這些記錄的相對次序保持不變，則稱該算法是穩(wěn)定的；若經(jīng)排序后，記錄的相對 次序發(fā)生了改變，則稱該算法是不穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性的好處：排序算法如果是穩(wěn)定的，那么從一個(gè)鍵上排序，然后再從另一個(gè)鍵上排序，第一個(gè)鍵排序的結(jié)果可以為第二個(gè)鍵排序所用?；鶖?shù)排序就是這樣，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其順序再高位也相同時(shí)是不會改變的。另外，如果排序算法穩(wěn)定，可以避免多余的比較；

穩(wěn)定的排序算法：冒泡排序、插入排序、歸并排序和基數(shù)排序

不是穩(wěn)定的排序算法：選擇排序、快速排序、希爾排序、堆排序

選擇排序算法準(zhǔn)則：

每種排序算法都各有優(yōu)缺點(diǎn)。因此，在實(shí)用時(shí)需根據(jù)不同情況適當(dāng)選用，甚至可以將多種方法結(jié)合起來使用。

選擇排序算法的依據(jù)

影響排序的因素有很多，平均時(shí)間復(fù)雜度低的算法并不一定就是最優(yōu)的。相反，有時(shí)平均時(shí)間復(fù)雜度高的算法可能更適合某些特殊情況。同時(shí)，選擇算法時(shí)還得考慮它的可讀性，以利于軟件的維護(hù)。一般而言，需要考慮的因素有以下四點(diǎn)：

1.待排序的記錄數(shù)目n的大小；

2.記錄本身數(shù)據(jù)量的大小，也就是記錄中除關(guān)鍵字外的其他信息量的大??；

3.關(guān)鍵字的結(jié)構(gòu)及其分布情況；

4.對排序穩(wěn)定性的要求。

設(shè)待排序元素的個(gè)數(shù)為n.

1）當(dāng)n較大，則應(yīng)采用時(shí)間復(fù)雜度為O(nlog2n)的排序方法：快速排序、堆排序或歸并排序序。

快速排序：是目前基于比較的內(nèi)部排序中被認(rèn)為是最好的方法，當(dāng)待排序的關(guān)鍵字是隨機(jī)分布時(shí)，快速排序的平均時(shí)間最短；

堆排序：如果內(nèi)存空間允許且要求穩(wěn)定性的，

歸并排序：它有一定數(shù)量的數(shù)據(jù)移動(dòng)，所以我們可能過與插入排序組合，先獲得一定長度的序列，然后再合并，在效率上將有所提高。

2）當(dāng)n較大，內(nèi)存空間允許，且要求穩(wěn)定性 =》歸并排序

3）當(dāng)n較小，可采用直接插入或直接選擇排序。

直接插入排序：當(dāng)元素分布有序，直接插入排序?qū)⒋蟠鬁p少比較次數(shù)和移動(dòng)記錄的次數(shù)。

直接選擇排序：元素分布有序，如果不要求穩(wěn)定性，選擇直接選擇排序

5）一般不使用或不直接使用傳統(tǒng)的冒泡排序。

6）基數(shù)排序

它是一種穩(wěn)定的排序算法，但有一定的局限性：

1、關(guān)鍵字可分解。

2、記錄的關(guān)鍵字位數(shù)較少，如果密集更好

3、如果是數(shù)字時(shí)，最好是無符號的，否則將增加相應(yīng)的映射復(fù)雜度，可先將其正負(fù)分開排序。

審核編輯 ：李倩