上世紀(jì)70年代，通信衛(wèi)星技術(shù)得到了飛速發(fā)展。通信衛(wèi)星是一種無(wú)線信號(hào)的中繼站，它接受地面基站A的信號(hào)，將信號(hào)載波頻率轉(zhuǎn)化到發(fā)射頻率，將信號(hào)功率放大再傳輸給另一個(gè)地方的地面基站B。

衛(wèi)星高高“懸掛“于地球上方，它能夠看到大約1/3的地球表面，因此它能夠避開(kāi)山川盆地的阻隔，連接遠(yuǎn)在大洋彼岸的通信基站，它還能非常便捷地提供一對(duì)多的衛(wèi)星電視服務(wù)。

圖1. 通信衛(wèi)星的無(wú)線模塊結(jié)構(gòu)[1]

圖1所示的是通信衛(wèi)星的射頻系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，接收端天線Rx的信號(hào)首先通過(guò)一個(gè)寬帶濾波器IFA（input filter assembly），將衛(wèi)星通信頻帶之外的干擾信號(hào)加以抑制然后接收信號(hào)經(jīng)過(guò)低噪聲接收機(jī)RCVR，RCVR模塊包括低噪放LNA（low noise amplifier），本振（local oscillator）和混頻器（mixer）用于將接收頻率向下轉(zhuǎn)換到發(fā)射頻率，以及驅(qū)動(dòng)放大器（driver amplifier）。

圖1中有一個(gè)備用的RCVR，主要目的是保證接收機(jī)工作的可靠性。

寬帶信號(hào)經(jīng)過(guò)低噪接收機(jī)之后便進(jìn)入輸入多工器IMUX（input multiplexer）。多工器的作用是將整個(gè)通信衛(wèi)星的頻譜分割成一個(gè)個(gè)非常窄的頻帶，每一路窄帶信號(hào)由一個(gè)高功率放大器HPA（high-power amplifier）獨(dú)立放大。

信號(hào)被放大之后再由輸出多工器OMUX（output multiplexer）將其合并，由發(fā)射天線TX將信號(hào)送出。為了獲得足夠的輸出功率，HPA工作在接近飽和區(qū)的狀態(tài)，此時(shí)功率放大器無(wú)法在較寬的頻帶內(nèi)保持良好的線性度，因此必須先將整個(gè)無(wú)線信號(hào)分成多路窄帶信號(hào)，分別放大再合并。

輸入輸出多工器是由許多窄帶濾波器以某種方式連接到一個(gè)公共端構(gòu)成的。通信衛(wèi)星使用的C和Ka波段的頻率，這些波段被進(jìn)一步劃分為帶寬24MHz~72MHz的多個(gè)窄帶信道，這使得每一個(gè)信道濾波器的相對(duì)帶寬（帶寬和中心頻率之比）通常在0.3%~2%之間。相較于寬帶濾波器而言，窄帶濾波器會(huì)使通帶信號(hào)產(chǎn)生更大的群時(shí)延，同時(shí)相位線性度也會(huì)更差，因此通常需要設(shè)計(jì)平衡器（equalizer）以改善相位線性度。

濾波器設(shè)計(jì)的另一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是，多工器相鄰信道頻率非常接近，這對(duì)濾波器的帶外抑制產(chǎn)生了很高的要求。此外，還要求濾波器功率容量大，體積和重量盡量小等等。

圖2. 通信衛(wèi)星上的圓波導(dǎo)雙模濾波器

圖2所示的圓波導(dǎo)雙模濾波器的設(shè)計(jì)很好地應(yīng)對(duì)了這一挑戰(zhàn)。它采用空氣填充的圓波導(dǎo)腔體，內(nèi)部表面鍍銀之后，諧振器的Q值可以達(dá)到10000。由于每一個(gè)金屬腔支持兩個(gè)正交極化的TE11諧振模式，相較于單模濾波器，這個(gè)濾波器的空間利用率更高。

它有四個(gè)圓柱形諧振腔，在濾波器通帶內(nèi)一共有八個(gè)諧振模式，這八個(gè)諧振模式的耦合結(jié)構(gòu)如圖3所示，可以看到其中除了按照諧振模式順序耦合之外，這個(gè)耦合結(jié)構(gòu)還有兩個(gè)交叉耦合，分別在諧振模式1和4之間以及在諧振模式5和8之間。

其中一個(gè)交叉耦合產(chǎn)生帶外的傳輸零點(diǎn)，可以增強(qiáng)濾波器的頻率選擇性；另一個(gè)交叉耦合產(chǎn)生一對(duì)共軛傳輸零點(diǎn)，這對(duì)傳輸零點(diǎn)不能在幅度響應(yīng)上直接被觀察到，但是通過(guò)合理安排它們?cè)趶?fù)平面上的位置，可以起到改進(jìn)相位線性度的作用。

圖3. 圓波導(dǎo)雙模濾波器的耦合拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖3中所示中間有數(shù)字的圓表示一個(gè)TE11諧振模式，圓圈之間的連線表示諧振模式之間的耦合。

與經(jīng)典的Butterworth和Chebyshev濾波器不同，圖2所示的濾波器帶有交叉耦合，它的設(shè)計(jì)需要一種新的理論工具，耦合矩陣就是在這樣的背景下由A. E. Atia和A. E. Williams提出的[2]-[6]。

圖4. 參考文獻(xiàn)[4]中給出的耦合諧振網(wǎng)絡(luò)電路模型

圖4所示的是早期的耦合諧振網(wǎng)絡(luò)電路模型。在這個(gè)電路模型中，每個(gè)諧振器是由電感電容串聯(lián)諧振器來(lái)表示的，所有的電容均為1F，每一個(gè)諧振回路的總電感為1H，所以每一個(gè)諧振器的諧振頻率均為1 rad/s。在最一般的情況下，任意兩個(gè)諧振器之間都可以存在耦合，耦合是通過(guò)線圈的互感來(lái)表示的。假設(shè)輸入端和輸出端的參考阻抗分別為R1和Rn，這個(gè)電路的回路方程可以寫(xiě)為：

方程（1）

其中i1-in是n個(gè)諧振回路的電流，e1是在端口1外加的激勵(lì)電壓。通過(guò)求解方程（1）可以求得各個(gè)回路的電流，從而進(jìn)一步求解整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的S參數(shù)。

方程（1）可以被歸納為如下形式：

方程（2）

上式為耦合矩陣的電路方程，其中[R]是一個(gè)稀疏矩陣，其中除了左上角的元素為R1，右下角的元素為Rn之外，其余元素均為0。[M]是耦合矩陣，其中每一個(gè)非對(duì)角線元素Mij表示第i個(gè)和第j個(gè)諧振器之間的耦合系數(shù)。（2）式左邊第三個(gè)矩陣[I]是單位矩陣，而單位矩陣之前的變量p是一個(gè)和頻率相關(guān)的變量：

方程（3）

注意到當(dāng)時(shí)的耦合矩陣和目前廣泛使用的耦合矩陣還是有較大的不同，主要表現(xiàn)在：

當(dāng)時(shí)的耦合矩陣的對(duì)角線元素均為0，此時(shí)所有諧振器諧振頻率一致，諧振頻率等于網(wǎng)絡(luò)的中心頻率，這種情況也被稱(chēng)為同步調(diào)諧（synchronously tuned）。而現(xiàn)在耦合矩陣的對(duì)角線元素允許有非零元素，對(duì)角線元素的值和該諧振器的諧振頻率有關(guān)，這種網(wǎng)絡(luò)被稱(chēng)為異步調(diào)諧（asynchronously tuned）網(wǎng)絡(luò)。

當(dāng)時(shí)的耦合矩陣中僅包含了諧振器之間的耦合，一個(gè)由N個(gè)諧振器構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)的耦合矩陣是一個(gè)大小為N乘以N的矩陣，因此這種耦合矩陣也被稱(chēng)為N?N矩陣。而現(xiàn)在流行的是N+2耦合矩陣，其中除了N個(gè)諧振器之外還包括了兩個(gè)端口結(jié)點(diǎn)，同時(shí)也包含了輸入和輸出端與諧振器之間的耦合系數(shù)，這些耦合系數(shù)被稱(chēng)為輸入輸出耦合。

圖5. N×N耦合矩陣形式

圖5所示內(nèi)容為與圖3所示拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的N?N耦合矩陣形式，其中X標(biāo)記了非零元素。耦合矩陣的解讀類(lèi)似于圖論中的鄰接矩陣，矩陣的每一個(gè)對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)著耦合拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖中的一個(gè)頂點(diǎn)，即一個(gè)諧振模式。每一個(gè)非對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)于兩個(gè)頂點(diǎn)之間的一條連線，如果一個(gè)非對(duì)角線元素為0，則表示對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頂點(diǎn)之間沒(méi)有連線，即這兩個(gè)諧振模式之間沒(méi)有耦合；如果一個(gè)非對(duì)角線元素非零，它的大小則是這兩個(gè)諧振模式之間耦合的大小。

例如，對(duì)應(yīng)于圖3所示拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合矩陣，應(yīng)當(dāng)具有圖5所示的形式，其中X表示非零元素，空白部分的元素均為0。圖5中的耦合矩陣是一個(gè)同步調(diào)諧濾波器的矩陣，因此它的對(duì)角線元素均為0。

耦合矩陣的優(yōu)勢(shì)是它的元素和實(shí)際濾波器的單元有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果我們可以綜合出理想狀態(tài)下該濾波器的耦合矩陣，我們就得到了每一對(duì)諧振模式之間的耦合系數(shù)大小，從而進(jìn)行濾波器物理結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，這是耦合矩陣?yán)碚撝饾u成為濾波器的主流設(shè)計(jì)方法的原因。